V diskuzi pod mým předchozím blogpostem se objevila zajímavá reakce učitelské autority, pana Oldřicha Botlíka. Protože bych na ni rád odpověděl, ale přitom se při své psavosti nevejdu do omezení tisíce znaků a navíc je odpověď částečně mimo téma minulého textu, je tu další post.
Pan Botlík se mne (zestručněno, originál zde) ptá, zda mi stačí, že žák-maturant umí složený zlomek upravit mechanicky, s tím, že on by raději, když to sice nezná, ale je schopen vymyslet a vysvětlit. A nemluvíme teď o těch, kteří z matematiky maturují, ti by si měli se složeným zlomkem poradit automaticky nebo neodmaturovat (což mimochodem tolik diskutovaná společná maturita z M nejspíš stejně nezajistí), jde nám o nematuranty.
Krátká odpověď na začátek: ano, stačí mi to (mechanicky), to druhé je pěkné a není to to, co chci. To pro ty, kteří se chtějí zděsit mých předpotopních názorů, případně rovnou vrhnout do plamenné diskuze. Nyní trocha argumentace pro ty, kteří vydrželi:
Můj minulý článek je samozřejmě trochu provokující – použil jsem slovo dril, a také jsem jeho význam malinko rozšířil, jenže text s názvem „Každé učivo je třeba procvičit“ by jen těžko někdo četl, ač jde do značné míry o totéž. Základní premisa, a z té neustoupím, zní „Kognitivní kapacita mysli je omezená a nesmí se jí plýtvat na zbytečnosti“. Jinými slovy, nelze se soustředit na mnoho věcí najednou. Pokud musím spotřebovávat „výpočetní výkon“ na to, abych myslel na úpravu zlomku, ztrácím ze zřetele hlavní linku problému. A až budu dělat krok zpět k vlastnímu problému, budu se na něj muset znovu naladit. Jsou i typy studentů, kteří by nejradši brali do ruky kalkulačku na výpočet 6 × 7 … překvapí někoho, že se dobře nesoustředí na řešený problém, kde se oněch 6 × 7 vyskytlo, a typicky ho nestihnou? A pomohlo by jim nějak, kdyby si uměli v klidu vyargumentovat, proč to musí být právě 42 a ne žádné jiné číslo?
Totéž platí pro složený zlomek. Jsme v reálném světě, kdy je potřeba kvůli návaznosti na jiné předměty, kvůli závazným studijním plánům, státním maturitám i rozličným přijímacím zkouškám naučit studenty rozumět některým problémům a naučit je spolehlivě řešit některé typy úloh. Takový složený zlomek vyleze každou chvíli někde mezi kombinačními čísly a statistikou, nebo třeba jen při hloupé zkoušce řešení rovnice, ve které vyšlo, že x = 15/16 (a také ve fyzice při hledání obecného řešení atd. atd.) Z pohledu správného řešení úlohy je úplně jedno, zda student provede úpravu vědomě s tím, že si pro sebe argumentuje, proč se složený zlomek upravuje právě a jedině tak, nebo to vykoná mechanicky. Z pohledu efektivity mám dobrý důvod se domnívat, že druhý přístup je na tomto místě výhodnější, protože student neopustí linku původního problému a soustředí se plně na něj místo odskoku do algebry sedmé třídy.
Úprava složeného zlomku je mojí optikou totéž, co násobilka, jen o jednu úroveň výše – něco, čemu je dobré a přirozené rozumět, ale pro praktickou aplikaci je porozumění málo, je třeba cvik. Mimochodem další takové úkony najdete snadno, opět o úroveň či dvě výš – třeba logaritmování, derivování nebo integrace. Pravidla příslušných operací je dobré odvodit z definice, ale pro vlastní výpočty je odvození ve většině případu k ničemu, zato je ale potřeba příslušnou činnost ovládat a dělat to s dostatečnou rychlostí a efektivitou.
Tolik k první polovině: proč je dobré umět upravit složený zlomek mechanicky. Pan Botlík v další části své reakce zmiňuje, že má ambici, cituji: „ …kdyby (žák) dokázal ten postup vymyslet a zdůvodnit (tj. vysvětlit, proč to musí být přesně tak, jak se to správně dělá). Ne u maturity, tedy ve stresu, ale v klidu – třeba při doučování sedmáka…“
Souhlasím, že je tohle ideální stav z pohledu porozumění matematice v ideálním světě, kde se všichni dokáží dostat do hloubi matematiky. Já se na něj ale dívám jiným pohledem. To, co kolega Botlík popisuje, je ve své podstatě schopnost podat důkaz platnosti věty. Jenže dokazování vět je něco, co je znakem mistra. Nováček v oboru se jen zoufale dívá kolem sebe, sbírá drobty toho, co mu předkládáme, a po malých doušcích absorbuje, jak funguje náš prapodivný svět čísel a především symbolů. Postupem času se v něm zorientuje natolik, aby nejen rozuměl symbolům, ale dokázal řešit i problémy. A teprve mistr je na té úrovni, kdy dokáže odvozovat nová tvrzení a vytvářet důkazy svých hypotéz.
Já ale neučím mistry. Učím lidi, kteří se s matematikou budou setkávat, a přitom v naprosté většině nebudou matematiky. Budou uživateli matematiky a já bych rád, aby byli uživateli úspěšnými. K tomu nepotřebují umět každý postup, který použijí, vymyslet, zato ho ale musí umět provést spolehlivě a to v rozumné době (třeba už proto, že jim za jejich práci jinak nikdo nezaplatí).
Srdcem jsem fyzikář, ne matematik, a neočekávám od svých studentů, že oni budou matematiky. Neprovozuji matematiku pro matematiku, je suchá a neživotná. V mých očích je matematika chytré nářadí , které potřebuji k tomu, abych rozuměl světu kolem sebe, ale pořád je to nářadí. Je dobré mu rozumět, hlavně je ho ale potřeba umět používat.
Matematika pomáhá formulovat přírodní zákony (v čisté formě vzorců třeba ve fyzice), matematika umožňuje analyzovat data (i ve vědách společenských, protože všechny, které si zasluhují název „věda“, ve svém srdci stojí na matematice, ať už jde o logiku u práva či statistiku u sociologie a psychologie, které by bez ní byly jen pojmo- a dojmologiemi. I v lingvistice se dnes ve velkém algoritmizují gramatiky a učí počítače mluvit lépe, než my atd. atd.) a dělat předpovědi, matematika je prostě společný jazyk všech věd. Matematika dělaná jen pro matematiku je záležitost, která patří za zdi teoretických ústavů příslušných matematických fakult. Je stejně užitečná a fascinující jako každý jiný základní výzkum, ale není to to, co by měli plošně provozovat středoškoláci. Důkazy vět nechme těm, kteří půjdou na vysokou školu s teoretickou matematikou – koneckonců i budoucím inženýrům většinou stačí výpočtová úspěšnost a důkazy se nezkouší.
Nemám rád nejvyšší úroveň univerzalizace matematiky – systém suchopárně sterilních, od reality odtržených abstraktních vět s co nejširším záběrem (u kterých nikdo na první až třetí přečtení netuší, co to vlastně má říkat), ke kterým následuje nicneříkající obecný důkaz (v 99% případů nesouvisející se skutečným používáním oné věty). Zvládl jsem Matfyz a tím jsem s nimi skoncoval. Mně osobně přijde matematika zajímavá až ve chvíli, kdy k něčemu je, kdy je aplikovaná. Opravdu fascinující je teprve tehdy, když dokáže dávat odpovědi na otázky jako „Kdy to bude hotové?“, „O kolik zvýšíme výnosy, když…?“, „Kolik lidí dokážeme oslovit?“, „Je opravdu možné, aby z toho okna vypadl a dopadl sem?“, „Vydrží tenhle most přejezd tanku?“, „Nestačilo by vézt o třetinu méně paliva?“, „Co se stane, když snížíme tuhle koncentraci na polovinu?“. Pokud jsem to dokázal, vždycky jsem ve svých hodinách hledal konkrétní aplikace věcí, které jsme probírali, zajímavosti, chyby, kterých se lidé dopustili, protože tohle nevěděli či spletli (i když tohle se týká spíš fyziky). Jenže všechny tyhle věci vyžadují určitou matematickou zdatnost – ani ne tak schopnost vysvětlit každý krok a podkrok, ale prostou dovednost je provést, aniž by jednoho zatěžovaly.
Možná si teď říkáte: „Jak tenhle člověk může učit matematiku? Vždyť rovnou přiznává, že není matematik nadšenec, dokonce ani nemá rád matematiku tak, jak ji matematikové budují!“ Inu, může. Dokonce má tolik sebevědomí, že si myslí, že to nedělal úplně špatně (teď mám trochu timeout od učení téhle věkové kategorie, jsem totiž ponořen do 0-5 let).
Snažil jsem se být vždycky v roli toho, kdo pomáhá studentům proniknout do světa, kteří si ti divní matematikové vybudovali, a přesvědčit je, že v tom pronikání jsme spolu. Věřím dokonce, že se mi podařilo docela dost lidí přesvědčit o tom, že nemusí sice být zrovna matematiky, ale matematika je věc užitečná, kterou stojí za to se zabývat a je dobré ji do nějaké míry ovládat, protože může poskytovat i řadu zajímavých tvrzení a odpovědí. Aspoň podle toho, co mi říkají, když se nějakou dobu po maturitě při různých příležitostech setkáváme, mám pocit že jsem nebyl tak úplně neúspěšný.
22 komentářů: “O složených zlomcích a nejen o nich”
K porozumění 1
Pane kolego,
proti Vaší „základní premise“ nic nemám. Jen se mi zdá, že si neuvědomujete, kam jsem svým dotazem mířil.
Příkladem blíže fyzice než složené zlomky je převádění centimetrů čtverečních na metry čtvereční: jistě je dobré, když žáci bez přemýšlení posunují desetinnou čárku o patřičný počet míst doleva. Proč ale titíž žáci nedokážou spočítat, kolik čtverečních palců má čtvereční stopa, když stopa má 12 palců? Když se v testu zeptáme sedmáků, zda se dá spotřeba masa šelmami v ZOO vyjádřit v kilogramech za sekundu (s upozorněním, že nejde o velikost čísel, která dostaneme), souhlasí jen 35 % žáků. Oni se o jednotkách a jejich převádění snad něco málo naučili, ale použít svou znalost v nových situacích moc nedokážou.
(dokončení následuje)
Re: O složených zlomcích a nejen o nich
Souhlasím s Vámi v každém bodě. Schopnost přenést znalosti/zkušenosti z oboru, kde je používám běžně, do oboru, kde nejsem doma je podle všech měření velmi těžké. Proto mám tak rád fyziku, protože my jsme doma „ve všech situacích“ – skoro na každé reálné situaci najdete něco, na co se lze dívat očima fyzika a jednotlivé podobory fyziky se navzájem prolínají, přesahy jsou tu přirozenější a studenti proto na ně zvyklejší. Více níže
K porozumění 2
(pokračování)
Problém nastává, když se školní matematika odehrává na instrumentální úrovni. Na této úrovni ji totiž žáci musejí přijímat v podstatě stejně, jako obvykle přijímají třeba letopočty bitev, jména panovníků nebo hlavní města států. Jen toho drilování je v matematice zjevně víc. A proto ji tak nemají rádi a neumějí ji. Podívejte se třeba na standardy z matematiky pro základní vzdělávání. V nich není o porozumění téměř nic. Bodejť by pak šlo o porozumění ve výuce!
Sám jste poukázal na univerzalitu matematiky. A právě z toho důvodu je důležité jejím principům rozumět — bez porozumění se totiž například obtížně přechází z jedné oblasti jejího využití do druhé.
Chápat, proč se složený zlomek upravuje tak, jak se upravuje, ještě zdaleka není důkaz. Byl jsem připraven přistoupit na to, že samotné porozumění nestačí, nechtěl jsem to však příliš „inzerovat“. Ale drilovat bez porozumění? To ať se žáci raději matematikou nezabývají vůbec!
Re 2
Já ale určitě netvrdím, že je třeba dril bez porozumění. Porozumění je třeba, ale jen porozumění nestačí, jednoznačně. Proto když vykládám nové věci, snažím se ukázat, proč jsou zajímavé, co nás motivuje k tomu, abychom věděli, jak fungují, odvodit. A když řešíme úlohy společně, matematizujeme problém, dělíme řešení na části, argumentujeme každý netriviální krok, děláme závěry.
Ale je to opravdová matematika, ne učebnice pedagogiky. V té by možná někde bylo napsáno, jak se žák nejprve dozví, pak pochopí, pak kroky opakuje a zdokonaluje se v tom. Moje osobní zkušenost z učení se i z učení jiných říká, že učení neběží po přímce. Nejprve tápu. Hodně mi pomáhá, když mne někdo vede, dívám se kolem sebe. Pár úloh je jednoduchých, jasných a pak přijdou ty, kde o něco zakopnu. Vidím to jako dnes, i když jsem se snažil pochopit „skutečný“ význam diferenciálních operátorů, absolutně to nešlo (a to jsem měl nejskvělejšího učitele na škole).
Re 3
…Viděl jsem samé poctivě provedené logické kroky, ale výsledek mi naprosto unikal. Až když jsem spočítal nějakou sadu úloh, a určitě jsem na začátku opisoval z tabule, a některé postupy zažil, natrénoval mechanicky, začalo se mi v tom dělat jasno. Na začátku jsem pracoval s „instrumentální“ matematikou a dospěl k pochopení. A viděl jsem to i se svými studenty – některé věci některým lidem opravdu pomůže napoužívat. Hodně mi to připomíná, když jsem se učil brnkat na kytaru nějaký roll. Sice člověk ví, jak to udělat, ale ruka neposlouchá, nerozumí, musí se nové pohyby naučit, zautomatizovat.
Neexistují univerzální recepty a univerzální lidé. Co taková kosinová věta – víte z hlavy jak funguje? Nebo proč lze ve vícerozměrných integrálech přehazovat pořadí integrace (a za jakých podmínek)? …
Re 4
…Nevím, jestli by mi znalost odvození kosinové věty pomohla v jejím použití, když na ni narazím – při hledání směru, ze kterého přišlo kosmické záření (tím se právě bavím) nebo při hledání správných délek trámů pro krovy. Tady je důležité přijít na to, že ji lze použít a jak ji použít.
Souhlasím s vámi, že se učí spousta věcí a bylo by dobré učit méně (látky), ale zato mít čas na víc takových úloh, kde budeme žáky vytlačovat z jejich komfortní zóny a nechávat je rozebírat úlohy s přesahem jinam, jako jsou vaše šelmy v zoo, moje úlohy o jedoucích autech, rozpadajících se muonech nebo okamžitých hodnotách napětí. A znovu narazíme na to, že pokud nezvládají vyřešit úlohu už v její matematizované formě, je reálná úloha daleko větším oříškem, protože se pozornost ještě mnohem víc tříští.
Blíž pravdě je dle mého názoru pan Koupil
Prvňáček se musí nejprve našprtat jednoducjé matematické úkony, aby je uměl z hlavy bez potíží. Teprve později pochopí co vše se s těmi nástroji dá dělat. Ten příměr, že znalost matematických operací a vzorců je jenom nástroj, a záleží na žáčkovi jak bude použit, je velmi trefný.
Stejně tak neuškodí i nějaká básnička nazpaměť. V cizích jazycích je to zpočátku hlavně o drilu a biflování, nejprve musí zvládnout slovíčka, fráze a celé články nazpaměť, s tím i gramatika, teprve později se naučí že umí li koncovky a má trochu přehled, umí si později i slova správně odvodit sám.
Mrzí mne, že zmatená péče o lidská práva se dostala až do stadia, kdy se bojíme po dětech i studentech vůbec chtít aby se něco naučili natvrdo, aby náhodou neutpěli duševní újmu. A děsivé výsledky už vidíme v praxi. Úroveň některých studentů je otřesná, Stačilo 25 let a národu už ani nevysvětlíte, že si nemohou brát půjčky, když netuší jaké jsou úroky a jak to splatí.
Těší mě,
že jste dospěl k alespoň částečně podobnému názoru jako já, viz můj blog, kde série článků na podobné téma začíná:
http://upergilla.blogspot.cz/2014/10/matematika-u-maturit-1.html
Opravdu raději vidím, když student, který má z průměru studny a výšky vody v ní spočítat její objem (aby vypočetl, kolik do ní má dát desinfekčního prostředku) vysype pi*(r^2)*v, než aby začal půl hodiny (v optimistické variantě) vzoreček odvozovat prostředky vyšší matematiky.
Asi nejzajímavější postřeh z diskusí a článků, které ve zmíněné sérii cituji, je skutečnost, že středoškolská matematika se dostala do vleku Jednoty českých matematiků a fyziků (či jak se ten spolek jmenuje) a v podstatě byla do jejích osnov procpána látka, důležitá pro budoucí studenty matfyzu, ale jinak naprosto bezcenná.
„Opravdu raději vidím, když student, který má z průměru studny a výšky vody v ní spočítat její objem (aby vypočetl, kolik do ní má dát desinfekčního prostředku) vysype pi*(r^2)*v, než aby začal půl hodiny (v optimistické variantě) vzoreček odvozovat prostředky vyšší matematiky.“
Já taky, ale o tom se myslím nediskutuje.
Já bych chtěl, aby si žák uměl poradit, i když bude chtít odhadnout obsah (plochu) kaluže, která se udělá, když vyleje na lino jeden litr mléka. I když to bude jen odhad a bude muset přijímat nejrůznější zjednodušující předpoklady. Když tomu vzorečku pro objem válce bude ROZUMĚT (tj. nebude ho pouze UMĚT), tak si poradí i s tou louží. Když mu ROZUMĚT nebude, bude namydlený.
Objemy mají nejen pravidelná tělesa a obsahy mají nejen pravidelné obrazce. V matematice, už na úrovni prvního stupně ZŠ, poznatky navzájem těsně souvisejí, přecházejí jeden ve druhý. Ze hry se dostává ten, komu ty souvislosti unikají — nikoli ten, kdo zapomněl nějaký vzoreček.
Obávám se,
že ten příklad s louží mlíka je typickou ukázkou matematické stupidity, kterou ve svých článcích pranýřuji. Bude záviset na jeho druhu (jinak se bude chovat plnotučné, jinak odstředěné), prošlosti (prošlé se bude chovat taky jinak) prudkosti (výšky) vylití a spousty dalších věcí. Navíc hladina takové kaluže, či spíš rozstřiku, bude mít v reálu rozdíly na úrovni desítek procent nějaké „ideální“ hodnoty, takže ani vzoreček objem = plocha krát výška nám k ničemu nebude. V soudně lékařské praxi (spíš pro krev než pro mlíko) se používají odhady původního objemu tekutiny v kaluži pomocí obkreslení skvrn na extra homogenní materiál a jejich vystřižení a zvážení, na hladkých površích se zase seškrabuje přímo zaschlý materiál a váží (s přepočtem na sušinu), nějaké výpočty nad tvarem louže. Dělá se to, aby se zjistilo, zda ta louže znamená letální vykrvácení, nebo mohla oběť ještě odejít po svých.
Re: O složených zlomcích a nejen o nich
Nejsme na jedné vlně – to, že se reálná krev či mléko chová komplikovaněji, je jasné. A přesto má úloha svůj význam – my při učení jdeme od jednoduchého ke komplikovanému, od konkrétního k obecnému (zde se lišíme od matematiků – profesionálů, kteří raději všechno obecné, a pak vyvozují speciální případy).
Udělat zjednodušení a mluvit o tom, kde jsou hranice a problémy mého modelu, je velice cenné. Jsem velmi přesvědčen, že metody, které popisujete, jsou jednak zjednodušené, jednak za sebou mají podobné „pranýřované“ myšlenky, jen nejsou tak zjevné.
Trochu mi přijde, že s panem Botlíkem se neshodneme jen na jediné věci – používáme trochu jinak pojmy ZNÁT a ROZUMĚT. Já totiž za „znát“ nepovažuju schopnost vychrlit vzorec v tabulkové formě (můj pojem je PAPOUŠKOVAT), „znát“ je zde u mne „dokázat ho sestavit pro konkrétní problém s jakýmkoli značením a počítat s ním“. Za „rozumět“ jsem pak považoval schopnost doodvozovat se ke vzorci, vědět, proč platí. A tu nepovažuji za vždy nutnou.
Vidím to trochu jinak:
Pokud pracuji s nějakými obskurními vzorci, pro něž si naprostou většinu (ne-li všechny) dosazovaných parametrů musím cucat z palce (nebo věštit jiným způsobem), tak dělám v podstatě jakousi pofidérní esoteriku, ale ne exaktní vědu (z této pozice byla opakovaně kritizována i známá „Drakeova rovnice“).
A v tom momentě se z matematiky, která by měla být založena na logických postupech nad exaktně definovanými veličinami, stává typická paměťová blábolologie, kde jsou žáci/studenti nuceni se učit záplavu naprosto nesmyslných čísel, různých „švindlkoeficientů“, naprosto odtržených od reality. A měla by se učit ne pomocí kalkulaček, ale s použitím kříšťálových koulí nebo podobných pomůcek.
A právě žáky/studenty s preferencí logických postupů a logického myšlení bude takto pojatá matematika nejvíc odrazovat, zatímco zbytek se to bude více-méně smířeně biflovat nazpaměť, a nebude se pokoušet najít smysl někde, kde žádný není.
ROZUMĚT a ZNÁT
Vraťme se k objemu válce (a louže). V této souvislosti by mi jako ROZUMĚNÍ úplně stačilo, kdyby žák chápal, že vzorce pro objem válce, pro objem kvádru a pro objem trojbokého kolmého hranolu jsou de facto stejné: obsah podstavy vynásobený výškou.
A obdobně si myslím, že žák má být schopen pomocí zjednodušení přijít na to, jak upravit třeba složený zlomek (2/3)/(5/7). Prostě tak, že v tom zápisu vidí také (2/1)/(5/1), případně (2/1)/(1/7) apod.
Obávám se však, že k tomu převládající výuka na ZŠ vůbec nesměřuje. Význam podobných souvislostí (které si žáci mohou objevovat i sami) část učitelů matematiky podceňuje nebo o něm v souvislosti s výukou dokonce ani nikdy nepřemýšleli. Tito učitelé potom slovo „dril“ chápou jinak: věří, že tím do žáků „vtlučou aspoň ty vzorečky a dosazování do nich“. Do příští písemky možná, ale trvale určitě ne: žáci většinou stejně opisují z tabule.
A u státní maturity pak selžou, protože jim nikdo nesdělil, „na jakou látku ten příklad je“.
Re: O složených zlomcích a nejen o nich
K prvnímu odstavci – pokud tohle zvládáte jako učitel, smekám před mistrem. Já mám asi tedy nízké cíle, ale to, co popisujete mi přijde jako typický příklad „třetího stadia“.
V prvním stadiu se žák orientuje mezi vzorci či postupy. Neví proč, nějak je používá, potřebuje vědět „na co úloha je“.
Ve druhém stadiu je ve stavu, který jsem kdysi slyšel v báječně popsat v nějakém filmu: „Já tomu nerozumím“ – „Já Ti to vysvětlím“ – „Ale ne, vysvětlit to umím taky, já tomu nerozumím.“ Dokáže zreprodukovat nějakou formu vysvětlení, ale není mu vnitřně blízká. Učitel může být a bývá spokojen – žák umí vysvětlit. Dá někdy dost práce dokázat, že to není vnitřní porozumění.
Třetí stadium nastává, když se metoda/vztah opoužívá, člověk s tím sroste, odkudsi zevnitř se vyloupne obrázek. Není to na vědomé úrovni, ale už je to uvnitř zřejmé, zažité. Tohle se musí prožít, k tomu se musí propracovat a ne každý asi má na to, aby sem došel. Nedělám si iluze, že sem vždy dojde každý z mých žáků. Vaši ano?
Nerozumím „třetímu“ stadiu — A
1.
Jak potom tedy pojem „objem“ zavádíte? Děti by si měly hrát třeba se stejným počtem kostek a zkoušet je různě uspořádat: jako kvádry s různými podstavami a výškami, případně jako několik stejných, ale nepravidelných vrstev nad sebou. A časem zjistit, že počet kostek (de facto tedy jejich celkový objem) je vždycky podstava krát výška. (Jistě znáte krásný Feynmanův příklad s dětskými kostkami a jejich „mizením“, na kterém ve svých přednáškách ilustroval zákon zachování energie – jeho příklad ovšem souvisí s tím mým jen hodně vzdáleně.) Anebo by děti měly přelévat pořád stejné množství vody mezi různými nádobami a zkoumat, proč a jak se výška vodního sloupce mění…
Objem přece není nějaký vzorec – to je koncept, docela složitý, který si každé dítě musí v hlavě postupně vytvořit. Pokud svůj pojem „dril“ chápete jako výše zmíněné a dostatečně dlouho prováděné činnosti, do nichž je dítě zabrané, protože tomu chce přijít na kloub, pak proti němu vůbec nic nemám.
Nerozumím „třetímu“ stadiu — B
2.
Pokud si však dril představujete tak, že (a teď zjednodušuji bez úmyslu se Vás dotknout) nakreslíte na tabuli kvádr, vedle něho napíšete V =abc a potom budete žákům předkládat do omrzení příklady, jak vypočítat V, a, b, nebo c ze zbývajících veličin, aby se ten vzorec a zacházení s ním naučili, pak bych se s Vámi matematiku opravdu učit nechtěl.
Vlastně celá tzv. Hejného matematika je založená na zásadním rozdílu mezi tím prvním a tím druhým.
P.S. Nejsem učitel, pane kolego, takže smekat nemusíte. 🙂
Re: O složených zlomcích a nejen o nich
Omlouvám se za zpoždění, nějak jsem prošvihl Vaši odpověď – a otázku. Naprosto souhlasím, že objem je koncept, který se musí vytvořit v hlavách. A raději nebudu moc říkat, jak se to má dělat, protože jsem si to nikdy nevyzkoušel – matematiku jsem vždycky totiž učil, na rozdíl od fyziky, jen na vyšším/běžném gymnáziu.
Jsem tedy jen pozorovatel (jako fyzikář třebas v sekundě nebo tercii) a jako takový si pamatuju, že většinou byl žáčky objem chápán jako něco, „co je a moc se o tom nepřemýšlí“. Sám jsem se hodně divil, když nám to soudružka učitelka zaváděla (asi ještě na národce) a říkala, jak budeme dávat ty podstavy nad sebe do výšky a mně se to nelíbilo, protože přece podstava má jen obsah a žádnou tloušťku.
Re: O složených zlomcích a nejen o nich
Nevím tedy, jak se má objem zavést – ale co vím je, že nebývá problém u pravoúhlých těles, zato tomu, že vzorce fungují stejně i u hranolu/válce s trojúhelníkovou nebo kruhovou podstavou (kam už krychličky nenasázíte), se většinou spíš jen věří a u často prostě a jednoduše naučí zpaměti a dál hlava nejde, i když bychom rádi. Jako ďáblův advokát říkám – možná ani každý nemusí a přitom to nebude k jeho škodě.
Je možné, že skládání krychliček chápání podpoří, ale stejně tak nemusí mít žádný účinek, netuším. Osobně bych asi věřil víc na přelévání vody, ale to by asi všechno byla otázka rigorozního výzkumu. Praxe mě naučila, že očividné a samozřejmé pravdy („to dá rozum, že …“) často vůbec neplatí a naopak.
Re: O složených zlomcích a nejen o nich C
A k vaší otázce – počítat do zblbnutí by mne asi fakt nebavilo učit, to bych se na to … ve škole se snažím o mírný pokrok v mezích zákona. Jak říkám, objem jsem nikdy neučil, ale asi bych to intuitivně dělal tak, že bych od obyčejného a·b·c pokračoval k nějakému hranolu, který je značený jinými písmenky, počítal bych objem třídy, počítal bych objem školní budovy, třeba zahnuté do L, počítal bych nějaké děravé těleso – a snažil bych se, aby si úlohy byly podobné a přitom nešlo opsat řešení jedné do druhé a „změnit čísla“. A určitě bych zamíchal nějakou úlohu mimo reálný život, s předdefinovaným značením, kde a bude mít běžný význam, a b a c budou zcela zavádějící, třebas i nepoužité. Mírná obměna (u stereometrie třeba zadání stejné krychle v jiném pohledu apod.) se mi v praxi ukázala jako nejefektivnější metoda procvičování, chcete-li, drilování.
„Takový složený zlomek vyleze každou chvíli někde mezi kombinačními čísly a statistikou, nebo třeba jen při hloupé zkoušce řešení rovnice, ve které vyšlo, že x = 15/16 (a také ve fyzice při hledání obecného řešení atd. atd.) “
Ano, vyleze každou chvilku. Ve škole. V životě za mých 63 let na mě vylezl jednou? dvakrát?
„Opravdu fascinující je teprve tehdy, když dokáže dávat odpovědi na otázky jako „Kdy to bude hotové?“, „O kolik zvýšíme výnosy, když…?“, „Kolik lidí dokážeme oslovit?“, „Je opravdu možné, aby z toho okna vypadl a dopadl sem?“, „Vydrží tenhle most přejezd tanku?“, „Nestačilo by vézt o třetinu méně paliva?“, „Co se stane, když snížíme tuhle koncentraci na polovinu?“. “
Ano to jsou skvělé příklady, a pokud by žáci skutečně uměli takové situace popsat matematicky, byl by to skvělý výsledek. Vyřešit to pak umí třeba Wolfram, rychle a bezchybně. Bohužel žáci se matematizaci opravdu málokdy učí, a naopak se učí dělat přesně to, co dnes umí každý lepší mobil, třeba rutinně upravovat složené zlomky.
Je třeba si ujasnit, zda vychováme děti pro školu, nebo pro reálný svět, ve kterém budou žít. Já jsem pro to druhé.