Disclaimer: V tomhle textu se vyskytuje matematika, čtete na vlastní riziko
Miluju přesné myšlení a schopnost aplikovat věci do důsledků. Tentokrát mi udělal radost jeden maturant, říkejme mu M. V pátek se psala státní maturita z matematiky a bylo v ní pár úloh zadaných o něco chytřeji, než bylo zvykem, což způsobilo opět celonárodní poprask. Ten tedy vyvolala soustava tří rovnic o třech neznámých, tahle anekdota ale patří k jiné úloze: Byla tam sada šesti víceméně kvadratických rovnic (to jsou ty, co mají obvykle dvě řešení, ale někdy taky jedno nebo žádné), a nabídka dvou intervalů (rozsah čísel) s tím, že mají ke každému intervalu najít jednu rovnici, jejíž všechna řešení náleží tomu intervalu.
M se ve výpočtech uťal a přiřadil k jednomu intervalu rovnici, která neměla žádné řešení. Určitě nebyl sám, ale možná byl sám, kdo si dal dvě a dvě dohromady. Totiž – a teď teprve přijde ta matematika – všechna řešení rovnice, která žádné nemá, jsou prázdná množina. A co znamená „náležet“? No, to je jinými slovy „být podmnožinou“. Jenže prázdná množina je podmnožinou každé množiny.
Takže M to má správně, a CERMAT neměl pravdu, když tam psal, že ke každé možnosti existuje jediné správné řešení. Požádal jsem M, aby to CERMATU napsal, uvidíme, jestli přijde odpověď, ale jestli mu to neuznají, budu za něj bojovat celou svou matfyzáckou duší.
A hlavně mě tenhle způsob myšlení fakt baví. Je super učit a potkávat lidi, které baví myslet!
12 komentářů: “Prázdná množina skóruje aneb chybka v maturitě”
To je právě ono. Maturitu většinou nepřipravují matfyzáci, ale průměrní matematici, absolventi peďáků. A víme, že tam většinou nešli studovat žádní lumeni a že úroveň matematiky tam taky nebyla nic moc. Prostě matematické vzdělání, a nejen matematické, upadá. Vyučují a rozhodují nedovzdělaní.
Je pravda, že prázdná množina je podmnožinou každé množiny. V úloze číslo 25 maturitního testu však maturanti neměli hledat rovnici, jejíž množina všech řešení je podmnožinou zadaného intervalu. Oni měli hledat rovnici, jejíž všechna řešení leží v zadaném intervalu. V tom je podle mne rozdíl! Aby nějaké číslo, které je řešením rovnice, leželo v zadaném intervalu, tak toto číslo (řešení) musí existovat.
Díky za komentář, a protože mě to baví, zkusím ho vyvrátit. Podmínkou hry je, že zůstáváme přísně na formálním poli matematiky, kde neplatí žádné „Ale je přece, jasné, co bylo myšleno“.
Tak tedy – v zadání se píše: „Přiřaďte ke každému intervalu (25.1–25.2) rovnici (A–F), jejíž všechna řešení v oboru R patří do tohoto intervalu. Já tvrdím, že rovnice A ze zadání tohle splňuje – jak to chci dokázat?
1. Zadefinuju vlastnost X, která zní „patřit do daného intervalu“. Můj výrok V proto zní: „Všechna reálná řešení rovnice A mají vlastnost X“
2. Protože jsou pochyby o platnosti výroku V, zkusím ho dokázat sporem. Vytvořím negovaný výrok V‘, který musí znít „Existuje alespoň jedno řešení rovnice A, které vlastnost X nemá“
3. Výrok V‘ je zjevně nepravdivý, což dokážeme výčtem všech řešení rovnice – žádné řešení, které by nemělo vlastnost X, nenajdeme
4. Pokud je ale negovaný výrok V‘ nepravdivý, musí být původní výrok V pravdivý, QED.
Pokud je v některém kroku chyba, jsem na ni zvědavý
Vtipné na tom je, že vlastnost X by mohla být cokoliv, s intervaly to vůbec nesouvisí, klidně by tam mohlo být, že mu čouhá z kapsy bagr.
S tím bagrem bych by opatrnější,
nemůžete s ním jen tak vtrhnout do logiky.
Musela by totiž předcházet nějaká
Definice. Říkáme, že reálnému číslu x
„čouhá z kapsy bagr“, jestliže …
Díky (pane docente?), asi jsem to přehnal.
Ale mám omluvu! Já jsem totiž tenkrát, když jsme to v „Logika a TeMno“ probírali, zrovna chyběl. A navíc jsem se pak učil na zkoušku na 13.9.2001 a to zaútočili na USA teroristi a tak jsem se vůbec nemohl učit a na Malé Straně jsme místo zkoušky s paní přednášející probírali jen mezinárodní situaci a odchod do kláštera.
Ovšem definice, co znamená, že reálnému číslu čouhá z kapsy bagr, mě ovšem možná baví ještě víc. Díky!
Rovnice a) má 2 kořeny v oboru komplexních čísel, které nejsou reálné. Berete to v úvahu?
Já bych řekl, že ano – je to určeno už tím zadáním, koneckonců dokazuju výrok V „Všechna reálná řešení rovnice A mají vlastnost X“.
Ale máte pravdu, v matematice má být člověk opatrný.
Pokud jde o úlohu 25, máte naprostou pravdu, pane Koupile. A to včetně vysvětlení panu Horynovi z 8. 5. 2025 (13:23).
O té chybě jsem věděl, jenomže dnes už mi připadá důležitější vysvětlovat, jak naše maturitní testy paralyzují žádoucí změny výuky matematiky na našich školách. A to navzdory tomu, že letošní úlohy byly opravdu docela nápadité.
Dovolím si obrátit Vaši pozornost třeba k úloze 23 o exponenciálním růstu. Uzavřením (tj. uvedením pětiprvkové nabídky řešení) totiž Cermat zcela změnil charakter úlohy (zařazené nejspíš kvůli tomu, že v katalogu požadavků je řešení jednoduché exponenciální rovnice). Chytrý maturant prostě vyzkouší 4násobný růst za 1,5 hodiny (bod A nabídky), zjistí, že na hodnotu 64násobku se dostane za 4,5 hodiny, a je doma! Pochopí ten mechanismus růstu, a vůbec nemusí umět rovnici k dané úloze sestavit, natož vyřešit. Jak dlouho bude trvat, než učitelé matematiky začnou své žáky v rámci přípravy na test učit takové triky?
Mám ještě jednu výhradu, mnohem zásadnější. Při nástupu pandemie covidu se ukázalo, že exponenciálnímu růstu nerozumějí dokonce ani někteří epidemiologové, natož většina ostatních vysokoškolsky vzdělaných občanů včetně politiků. Nabízelo se zařadit do testu úlohu, která by CÍLEVĚDOMĚ ověřila porozumění mechanismu takového růstu. Pak by totiž žáci viděli, že porozumění matematice může zachraňovat životy, a aspoň někteří učitelé by pochopili, že už nemá smysl vyučovat matematiku tak, aby žáci suplovali kalkulačky.
Potřebujeme ji vyučovat tak, aby se žáci dokázali smysluplně rozhodovat v prostředí, kde kalkulačky, další prostředky vybavené pro provádění algoritmizovatelných výpočtů a AI jsou běžně dostupnými nástroji.
Díky, to je docela zajímavý postřeh. Nebudu ho ani v nejmenším rozporovat, i když mi teď vrtá hlavou, jak moc je v tomhle případě vámi navržené „neřešení“ opravdu dirty trick, a jak moc by mi to vlastně vůbec nevadilo, protože to znamená pochopení.
Nemáte vůbec zač.
Nebyl by to „dirty trick“, kdyby tam chyběla nápověda a žák by sám přišel na to, že si situaci může osahat tak, že sám zvolí (možná chybné) „řešení“, udělá s ním „zkoušku“, vyhodnotí její výsledek, a potom to své výchozí „řešení“ zkoriguje. Třeba i iterativně…
Má to ale háček. Na začátku správné konstrukce testu by měl jeho autor specifikovat, co vlastně jednotlivými úlohami hodlá ověřovat. To musí odpovídat katalogu požadavků. Aby byl test tzv. validní, musí potom jednotlivé úlohy ověřovat opravdu to, co ověřovat měly. Pokud měla úloha 23 ověřovat schopnost žáků sestavit jednoduchou exponenciální rovnici a vyřešit ji, potom to ‒ kvůli nabídce odpovědí ‒ vůbec nemusí dělat.
Triviálním ilustrativním příkladem (který dnes už doufám neuvidíte ani u Cermatu) je úloha:
Která dvojice čísel je řešením kvadratické rovnice x^2 + 5x + 6?
A)…, B)…, C)…, D)…, E)…
V takové úloze žák může žák uspět dokonce i tehdy, když o kvadratické rovnici a jejích kořenech neví vůbec nic. Stačí, když umí dosazovat.
Tohle je obecně problém veškerých uzavřených úloh, protože v každé může žák více či méně sofistikovaně tipovat s pravděpodobností úspěchu vyšší než 0. A u některých úloh pak může využít nabídky podobně kreativně jako v úloze 23. A samozřejmě také platí, že v reálných situacích se nabídka řešení obvykle nevyskytuje. O to jsou uzavřené úlohy umělejší. Naše státní maturita i přijímací testy obětovaly smysluplnost testování možnosti (částečného) strojového vyhodnocení, jeho snadnosti, nízké ceně a rychlosti. Negativní dopady tohoto rozhodnutí už se projevují. Například ve Velké Británii se ve státních testech uzavřené úlohy objevují jen výjimečně, v matematice NIKDY.
Ještě si dovolím poskytnout Vám, pane Kvapile, jednu nevyžádanou radu, která souvisí s Vaší větou v úvodním textu („Požádal jsem M, aby to CERMATU napsal, uvidíme, jestli přijde odpověď, ale jestli mu to neuznají, budu za něj bojovat celou svou matfyzáckou duší.“)
Jestli za M opravdu chcete bojovat „celou svou matfyzáckou duší“, ZAČNĚTE HNED. Je zapotřebí, aby o vadné úloze věděla veřejnost předem, mj. proto, že takových žáků může být víc. Možná Vás to stejně časem přestane bavit, rozhodně ale nečekejte na odpověď z Cermatu ani z MŠMT. Cermat to nejspíš neuzná nikomu, a pokud se vůbec bude namáhat s odůvodněním, bude pravděpodobně znít, že to „jejich“ řešení odpovídá běžné školní praxi a úloha neověřovala znalosti výrokové logiky ani množinové algebry. M pak možná požádá MŠMT o přezkum svého výsledku v maturitním testu. Už ombudsmanka Šabatová však zjistila, že MŠMT vydává v masovém měřítku nepřezkoumatelná (a tedy nezákonná) rozhodnutí o těchto žádostech. Cesta přes správní žaloby je sice schůdná, ale v jednom případě, který jsem podrobně sledoval, trvala kvůli obstrukcím MŠMT tři roky. Teprve pak maturant dosáhl toho, nač měl nárok.
Případ je podle mého názoru naprosto jasný matematicky a jak jste správně poznamenal, úloha odporuje jedné ze základních informací o zadání zkoušky uvedených na první straně testového sešitu. Každý žák by odpověděl správně dokonce i tehdy, kdyby písmeno A uvedl u obou intervalů ad 25.1 a 25.2.
Omlouvám se: pane KOUPILE.